三角函数系的正交性

是指在特定的区间上，某些三角函数的积分结果为零，这表明这些函数在该区间上是正交的。具体来说，对于区间 \([-L, L]\)：

1. 正弦函数的正交性：对于不同频率的正弦函数 \(\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\) 和 \(\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\)，其中 \(m\) 和 \(n\) 是不同的正整数：

   \[\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx = 0\]

2. 余弦函数的正交性：对于不同频率的余弦函数 \(\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\) 和 \(\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\)，其中 \(m\) 和 \(n\) 是不同的非负整数：

   \[\int_{-L}^{L} \cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx = 0\]

3. 正弦与余弦的正交性：对于任意整数 \(m\) 和 \(n\)：

   \[\int_{-L}^{L} \sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx = 0\]

这些性质使得三角函数在傅里叶级数展开中非常有用，因为它们可以独立地表示周期函数的不同频率成分。需要注意的是，正交性在这里是指在给定区间上的积分结果为零，而不是指这些函数在整个实数域上都是独立的。