傅立叶级数（Fourier Series）

是将一个周期函数分解为不同频率的正弦和余弦函数之和的一种数学工具。以下是关于傅立叶级数的一些关键点：

1. 定义：对于一个周期为 \(T\) 的函数 \(f(t)\)，其傅立叶级数可以表示为：

   \[f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right) \right)\]

   其中，\(a_0\) 是常数项，\(a_n\) 和 \(b_n\) 是傅立叶系数，分别由以下公式计算：

   \[a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \, dt\] \[a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right) \, dt\] \[b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin\left(\frac{2\pi nt}{T}\right) \, dt\]

2. 周期性：傅立叶级数的周期性意味着，如果 \(f(t)\) 是周期为 \(T\) 的函数，那么 \(f(t + T) = f(t)\)。

3. 正交性：正弦和余弦函数在特定区间上是正交的，这使得傅立叶级数的展开成为可能。

4. 收敛性：对于满足某些条件的函数（例如，Dirichlet条件），傅立叶级数在其收敛点处收敛到函数值的平均值。

5. 应用：傅立叶级数广泛应用于信号处理、图像处理、物理（特别是波动方程的解）、工程和数学分析等领域。

6. 傅立叶变换：傅立叶级数可以被看作是傅立叶变换的一个特例，适用于周期函数。非周期函数的傅立叶变换则是傅立叶级数的推广。