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莱布尼兹法则（Leibniz’s rule）
莱布尼兹法则（Leibniz’s rule）是微积分中一个非常有用的工具，用于求解含有积分的函数的导数。以下是莱布尼兹法则的基本形式和应用：
基本形式
设 \(f(x, t)\) 是一个关于 \(x\) 和 \(t\) 的函数，\(a(x)\) 和 \(b(x)\) 是 \(x\) 的函数，那么：
\[\frac{d}{dx} \left( \int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) \, dt \right) = f(x, b(x)) \cdot b'(x) - f(x, a(x)) \cdot a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x} (x, t) \, dt\]解释
- 第一项 \(f(x, b(x)) \cdot b'(x)\) 表示积分上限的变化对结果的影响。
- 第二项 \(-f(x, a(x)) \cdot a'(x)\) 表示积分下限的变化对结果的影响。
- 第三项 \(\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x} (x, t) \, dt\) 表示在积分区间内函数 \(f(x, t)\) 对 \(x\) 的偏导数的积分。
应用示例
假设我们有以下积分：
\[I(x) = \int_{0}^{x^2} \sin(xt) \, dt\]使用莱布尼兹法则求 \(I'(x)\)：
- 上限 \(b(x) = x^2\)，所以 \(b'(x) = 2x\)
- 下限 \(a(x) = 0\)，所以 \(a'(x) = 0\)
- 函数 \(f(x, t) = \sin(xt)\)
- \[\frac{\partial f}{\partial x} = t \cos(xt)\]
应用法则：
\[I'(x) = \sin(x \cdot x^2) \cdot 2x - \sin(x \cdot 0) \cdot 0 + \int_{0}^{x^2} t \cos(xt) \, dt\] \[I'(x) = 2x \sin(x^3) + \int_{0}^{x^2} t \cos(xt) \, dt\]这个例子展示了如何使用莱布尼兹法则来求解含有变量积分限的函数的导数。注意，在实际应用中，你可能还需要进一步计算第三项的积分，这取决于具体的函数形式。